Ключевые задачи к коллоквиуму по геометрии

1. Докажите (не используя теорему о сумме углов треугольника), что внешний угол треугольника больше любого внутреннего угла, не смежного с ним.

2. Докажите, что против большей стороны в треугольнике лежит больший же угол. Докажите обратную теорему.

3. Докажите три неравенства (неравенство треугольника): a+b>c, a+c>b, b+c>a. Докажите следующие короткие формулировки этого неравенства: а) a+b>c>|a−b|; б) если c — наибольшая сторона, то a+b>c.

4. Докажите соотношения в прямоугольном треугольнике (см. рис. 1): а) a²=cx, b²=yc; б) h²=xy; в) c²=a²+b² (теорему Пифагора).


Рис. 1

5. В треугольнике ABC проведена биссектриса BD. Докажите, что AB:BC=AD:DC.

6. Докажите формулы для углов, образованных хордами в окружности (см. рис. 2): а) x=α/2; б) x=(α+β)/2.

а)б)

Рис. 2

7. Докажите формулы для углов между хордой и касательной, а также для углов с вершиной вне окружности (см. рис. 3): а) x=α/2; б) x=(α−β)/2; в) x=(α−β)/2; г) x=(α−β)/2=α−180°.

а) б) в) г)

Рис. 3

8. Докажите, что ΔPAC∼ΔPDB (рис. 4). Выведите отсюда, что PA·PB=PC·PD$.


Рис. 4

9. Докажите, что ΔABC∼ΔACD (рис. 5). Докажите, что AC2=AD·AB.


Рис. 5

10. Докажите, что ΔSCB∼ΔSAD (рис. 6). Докажите, что CS·SD=BS·SA.


Рис. 6

11. Докажите, что геометрическим местом точек, из которых данный отрезок AB виден под данным углом α есть две дуги двух окружностей. В каком случае эти дуги на самом деле образуют одну окружность?

12. Докажите, что точка, симметричная ортоцентру (точке пересечения высот) относительно стороны треугольника, лежит на окружности, описанной около треугольника.

13. В треугольнике ABC c ∠BAC=α проведены высоты BB1 и CC1, пересекающиеся в точке H. Докажите, что AH=BC·|ctg α|.

14. В треугольнике ABC с ∠BAC=α проведены высоты BB1 и CC1. Докажите, что ΔAB1C1∼ΔACB с коэффициентом подобия |cos α|.

15. В треугольнике ABC проведены высоты AA1, BB1 и CC1. Докажите, что прямые AA1, BB1 и CC1 содержат биссектрисы углов треугольника A1B1C1.

16. Докажите, что углы со взаимно перпендикулярными сторонами либо равны, либо дополняют друг друга до 180°. Докажите аналогичное утверждение для углов с соответственно параллельными сторонами.

17 (сравните с задачей {\bf 5}). В ΔABC проведена биссектриса CD внешнего угла ECB (рис. 7). Докажите, что AD:DB=AC:CB. В каком случае CD || AB?


Рис. 7

18. Найдите косинусы, синусы, тангенсы и котангенсы углов в 45°, 30°, 60°, 120°, 150°, 90°, 0°, 180°.

19. Найдите cos 72° и sin 18°.

20. Докажите теорему косинусов: c²=a²+b²−2ab·cos γ.

21. Докажите теорему синусов: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R.

22. Докажите теорему Птолемея для вписанного четырёхугольника ABCD: AB·CD+BC·AD=AC·BD.

23. Докажите теорему, обратную теореме Птолемея.

24. С помощью теоремы Птолемея докажите формулы:
а) sin(α+β) = sin α cos β + cos α sin β;
б) sin(α−β) = sin α cos β − cos α sin β;

25. Окружность, описанная около треугольника [Погорелов, §5, п. 3].

26. Окружность, вписанная в треугольник [Погорелов, §5, п. 4].

Важные замечания

1) Прочитать весь §5 учебника Погорелова. Знать определение геометрического места точек. Уметь выполнять простейшие построения циркулем и линейкой.

2) Знать формулировки (без доказательства) трёх признаков равенства треугольников и трёх признаков подобия треугольников.

Коллоквиум состоится 30 января 2009 года.

Hosted by uCoz